Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol l sedemikian rupa sehingga,
Ax = lx
l disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan l.
Contoh :
Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari :
Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)
Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah Ax = lx sebagai,
Ax = lIx
(lI – A)x = 0
Agar supaya l menjadi nilai eigen, maka penyelesaian sistem persamaan linier diatas haruslah non trivial, dimana syaratnya adalah :
Teknik Menghitung Nilai Eigen (2)
Persamaan terakhir adalah polinomial l berderajad n yang disebut dengan persamaan karakteritik A, sedangkan nilai eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A (akar-akar polinomial dalam l).
Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matrik A adalah :
(1) Bentuk matrik (lI – A)
(2) Hitung determinan, det(lI – A)=0
(3) Tentukan persamaan karakteristik dari, (lI – A) = 0
(4) Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai lamda)
(5) Hitung vektor eigen dari SPL, (lI – A)x=0
Contoh
Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari :
Jawab
Bentuk, lI – A yaitu :
Persamaan karakteristiknya adalah :
det(lI – A) = l2 – 2l – 8 = 0
Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah : l1 = 4, dan l2 = –2, dan inilah nilai eigen matrik A.
Vektor eigen x dari A diperoleh dari :
Jadi vektor eigen untuk l = 4, adalah x = [5,1]. Sedangkan vektor eigen yang bersesuaian
dengan l = –2 adalah, x = [1,–1].
