MATRIK: METODE ELEMENTER (6)

Metode Elementer

Definisi Matriks Elementer

Matriks elementer adalah matriks persegi

n \times n

yang dinyatakan sebagai hasil matriks satuan

n \times n

yang dikenakan sebuah operasi baris elementer.

Lalu bagaimana cara membentuk matriks elementer ?

Mengingat kembali dalam Operasi Baris Elementer (OBE) terdapat 3 operasi dasar, sehingga kita peroleh 3 cara untuk membuat matriks elementer yaitu :

Dengan operasi mempertukarkan dua baris pada matriks satuan, dinotasikan : $R_{i} \leftrightarrow R_{j}$

Contoh :

Misalkan kita punya matriks satuan

I_{3 \times 3}

dan kita akan menggunakan operasi

R_{1} \leftrightarrow R_{3}

, sehingga kita dapatkan matriks elementer (merah) :

⎡ ⎣ ⎢ 100010001 ⎤ ⎦ ⎥ \to ⎡ ⎣ ⎢ 001010100 ⎤ ⎦ ⎥

Mengalikan sebuah baris dengan konstanta/skalar, selama skalar bukan nol, dinotasikan :

k R_{i} \to R_{1}

Contoh :

Jika kita punya matriks

I_{2 \times 2}

dan dikenakan operasi

- \frac{\sqrt{3}}{2} R_{2} \to R_{2}

maka kita peroleh matriks elementer sebagai berikut :

[1001] \to [10 0 - 3 \sqrt 2]

Menambahkan kelipatan dari suatu baris dengan baris lain, dinotasikan :

k R_{1} + R_{j} \to R_{j}

Contoh :

Jika matriks satuan

I_{4 \times 4}

dikenakan operasi

π R_{2} + R_{3} \to R_{3}

maka akan diperoleh :

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ 1000010000100001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ \to ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ 1000 01 π 0 00100001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

Setelah mengetahui definisi dan bentuk matriks elementer selanjutnya kita akan mempelajari sifat-sifatnya melalui teorema-teorema berikut. Catatan : Untuk selanjutnya untuk penamaan matriks elementer kita akan menggunakan simbol

Contoh soal :

1. Perkalian matriks elementer

Untuk N = 3

Menghitung E1 :

Menghitung E2 :

Menghitung E3 dan Invers Matrik :

Untuk N = 4

Menghitung E2 :

Menghitung E3 :

Menghitung E4 dan Invers Matrik :