METODE ELIMINASI GAUSS
Eliminasi gauss pertama kali sudah dikenal sejak tahun 179 M oleh matematikawan asal Tionghoa, namun lebih disempurnakan lagi oleh matematikawan kelahiran Jerman Carl Friedrich Gauss ( 1777 - 1855). Eliminasi gauss yaitu suatu cara untuk mengoperasikan nilai - nilai didalam sebuah matriks, sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya dengan menggunakan operasi elementer sampai hasilnya menjadi matriks yang eselon baris.
Ciri - ciri metode gauss :
Contoh Soal :
Diketahui SPL 3 variabel
2x + 3y - z = 6
x + 2y - 4z = 8
x + y + 4z = 4
Tentukan nilai dari variabel - variabel SPL diatas !
Penyelesaian :
Tahap Pertama
Mengubah persamaan linear tersebut menjadi sebuah matriks yang teraugmentasi
Tahap Kedua
Mengubah baris pertama kolom pertama ( a11 ) menjadi angka 1
Hasil dari a11, a12, a13 dan a14 ini akan menjadi baris pertama ( b1 ) dan untuk bilangan lainnya tetap sama.
Tahap Ketiga
Mengubah baris ke-2 pada kolom pertama ( a21 ) menjadi angka nol dan mengubah baris ke-2 pada kolom ke-2 ( a22 ) menjadi angka 1
Hasil dari a21, a22, a23 dan a24 ini akan menjadi baris ke-2 ( b2 ), nilai untuk bilangan lainnya tetap sama.
Tahap Keempat
Mengubah baris ke-3 pada kolom pertama ( a31 ) dan baris ke-3 pada kolom ke-2 ( a32 ) menjadi angka nol dan baris ke-3 pada kolom ke-3 ( a33 ) menjadi angka 1
Hasil dari a31, a32, a33 dan a34 ini akan menjadi baris terakhir atau baris ke-3 ( b3 ).
Tahap Terakhir
Setelah melengkapi ciri - ciri dari eliminasi gauss dan mendapatkan matriks yang eselon baris, kita dapat melanjutkannya dengan mencari nilai variabel x, y dan z dengan mensubstitusikannya. Caranya yaitu :
Dari matriks diatas maka didapatkan SPL 3 variabel yang baru yaitu :
x + y + 3z = -2
y - 7z = 10
z = 6
Kemudian kita harus mensubstitusikan persamaan linear diatas untuk memperoleh nilai variabel x, y dan z. karena nilai z sudah diketahui yaitu :
z = 6
Maka, langkah selanjutnya adalah mencari nilai dari variabel y dengan mensubtitusikannya dengan persamaan linear dengan persamaan pada baris ke-2.
y - 7z = 10
y - 7(6) = 10
y - 42 = 10
y = 10 + 42
y = 52
Dan terakhir kita akan mencari nilai dari variabel x dengan mensubstitusikannya dengan persamaan linear pada baris pertama.
x + y + 3z = -2
x + 52 + 3(6) = -2
x + 52 + 18 = -2
x + 70 = -2
x = -2 - 70
x =-72
dengan ini maka, kita sudah mendapatkan nilai - nilai dari variabel diatas yaitu x = -72, y = 52 dan z = 6 .
ELIMINASI GAUSS-JORDAN
Eliminasi gauss-jordan ini adalah pengembangan dari eliminasi gauss yang hasilnya lebih disederhanakan lagi. Metode ini dimodifikasi oleh Wilhelm Jordan seorang insinyur Jerman pada tahun 1887. Dengan metode ini selain dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear juga dapat digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.
Contoh soal :
Diketahui SPL 3 variabel
x + 3y + 2z = 4
2x + 7y + 4z = 6
2x + 9y + 7z = 4
Tentukan nilai dari variabel - variabel persamaan linear diatas !
Penyelesaian :
Tahap Pertama
Sama seperti metode gauss, pertama kita harus mengubah persamaan linear 3 variabel diatas menjadi sebuah matriks yang teraugmentasi.
Tahap Kedua
Karena baris pertama pada kolom pertama ( a11 ) sudah bernilai 1. Maka, kita akan mengubah baris ke-2 ( b2 ) terlebih dahulu.
Hasil dari a21, a22, a23 dan a24 akan menjadi baris ke-2 ( b2 ) dan untuk elemen lainnya tetap sama.
Tahap Ketiga
Selanjutnya kita akan mengubah nilai pada baris ke-3 ( b3 ).
Hasil dari a31, a32, a33 dan a34 akan menjadi baris ke-3 ( b3 ).
Tahap Keempat
Karena baris pertama pada kolom ke-2 ( a12 ) dan baris pertama pada kolom ke-3 ( a13 ) belum bernilai nol, maka kita masih harus mengoperasikannya agar bernilai nol sehingga menjadi matriks yang tereduksi.
Hasil dari a11,a12,a13 dan a14 ini akan menjadi baris ke-1 ( b1 ).
Hasil dari a11, a12, a13 dan a14 ini akan menjadi tahap terakhir untuk mengoperasikan baris pertama ( b1 ), sehingga kita sudah mendapatkan matriks yang tereduksi.
Tahap Terakhir
