14

Definisi : F : v ↔ w ; v dan w Ruang Vektor F disebut Transformasi Linear jika memenuhi 2 Aksioma berikut.

∀ u,v ∈ v dan k skalar

1) F(u+v) = F(u) + F(v)
2) F(ku) = k.F(u)

Contoh :
1) Diketahui F : R² ↔ R³, tentukan apakah F(x,y) = (x+y, x-y, 2xy) merupakan Transformasi Linear?

Jawab:
Misal u,v ∈ R²
u = (x₁,y₁)
v = (x₂,y₂)
k skalar

1) F(u+v) = F(u) + F(v)

Ruas Kiri

F(u+v) = F( (x₁,y₁) + (x₂,y₂) )
           = F ( x₁+x₂ , y₁+y₂ )
           = ( (x₁+x₂) + (y₁+y₂) , (x₁+x₂) - (y₁+y₂) , 2(x₁+x₂).(y₁+y₂) )
           = ( (x₁+y₁) + (x₂+y₂) , (x₁-y₁) + (x₂-y₂) , 2x₁y₁ + 2x₂y₂ + 2x₁y₂ + 2x₂y₁ )
           = (  x₁+y₁ , x₁-y₁ , 2x₁y₁ ) + ( x₂+y₂ , x₂-y₂ , 2x₂y₂ ) + ( 0 , 0 , 2x₁y₂ + 2x₂y₁ )
           ≠ F(u) + F(v)
(Tidak Memenuhi Aksioma 1)

2) F(ku) = F(k(x₁,y₁))
             = F(kx₁ , ky₁)
             = ( kx₁ + ky₁ , kx₁ - ky₁ , 2kx₁ky₁)
             = ( kx₁ + ky₁ , kx₁ - ky₁ , 2k²x₁y₁)
             = k( x₁+y₁ , x₁-y₁ , 2kx₁y₁)
             ≠ k.F(x₁,y₁)
             ≠ k.F(u)
(Tidak Memenuhi Aksioma 2)

∴ F bukan Transformasi Linear


Contoh yang merupakan Transformasi Linear

2) Diketahui F : R³ ➝ R² , tentukan apakah F(x,y,z) = (2x+y , 5y+z) merupakan Transformasi Linear?

Jawab:
Misal u,v,w ∈ R³
u = (x₁,y₁,z₁)
v = (x₂,y₂,z₂)
k skalar

1) F(u+v) = F(u) + F(v)

Ruas Kiri
F(u+v) = F( (x₁,y₁,z₁) + (x₂,y₂,z₂) )
           = F( x₁+x₂ , y₁+y₂ , z₁+z₂ )
           = 2(x₁+x₂) + (y₁+y₂) , 5(y₁+y₂) + (z₁+z₂)
           = 2x₁ + y₁ + 2x₂ + y₂ , 5y₁ + z₁ + 5y₂ + z₂
           = (2x₁ + y₁ , 5y₁ + z₁) + (2x₂ + y₂ , 5y₂ + z₂)
           = F(u) + F(v)
(Memenuhi Aksioma 1)

2) F(ku) = k.F(u)

F(ku) = F( k(x₁,y₁,z₁) )
         = F(kx₁,ky₁,kz₁)
         = ( 2kx₁+ky₁ , 5ky₁+kz₁ )
         = k (2x₁+y₁ , 5y₁+z₁ )
         = k.F(u)
(Memenuhi Aksioma 2)

∴ Jadi F merupakan Transformasi Linear

Sebagai Latihan
1. Diketahui F : R² ➝ R³ , tentukan apakah F(a,b) = (2a-6b , a+b) merupakan Transformasi Linear?
2. Diketahui F : R² ➝ R³, tentukan apakah F(x,y) = (x+y , x, 3y) merupakan Transformasi Linear?
3. Diketahui F : R³ ➝ R², tentukan apakah F(x,y,z) = (12x-y , 4x+z). merupakan Transformasi Linear?
4. Diketahui F : M₂₂ ➝ M₂₂, tentukan apakah F([acbd])=[a+bcbc+d] dengan a,b,c,d ∈ R.merupakan Transform

13

BASIS RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM

Jika A adalah matriks m*n maka subruang R yang direntang oleh vektor vektor baris dari A disebut ruang baris dari A Subruang dari R yang direntang oleh vektor vektor dari A disebut ruang kolom dari A          
TEOREMA                                 
Jika suatu matriks U berada dalam bentuk basisi eselon maka vektor vektor baris dengan utama 1 ( yaitu vektor vektor nol ) membentuk suatu baris untuk ruang baris U dan vektor vektor baris membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari U 

Misalkan matriks:

dengan melakukan OBE diperoleh

matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu:

baris ruang baris diperoleh dengan cara , Menstransposkan terlebih dahulu matriks A , lakukan OBE pada A , sehingga diperoleh :

kolom kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama bersesuaian dengan matriks asal (A).ini berarti , matriks A tersebut mempumyai basis ruang baris 

12

BASIS DAN DIMENSI

Pengertian basis untuk ruang vektor V serupa dengan pengertian basis untuk Rⁿ, yang telah kita kenal. Untuk mengenal basis, diperlukan pengertian membangun dan bebas linier. Pengertian membangun telah kita pelajari di materi sebelumnya yaitu kombinasi,bergantung, dan bebas linier . Dengan pengertian bebas linier, himpunan yang membangun V dapat diperkecil sedemikian mungkin sehingga himpunan yang baru tetap membangun V.

Definisi

Contoh :

Misalkan p(x) = 2 – 3x + x² , q(x) = 1 + x – x² , r(x) = 5 – 5x + x² untuk setiap x real. Karena 2p + g – r = 0 maka {p, q, r} bergantung linier di P₂

Sifat  :

 Definisi :

Ruang vektor tak nol V dikatakan berdimensi hingga, jika V mempunyai basis yang hingga. Banyaknya vektor dalam suatu basis untuk V disebut dimensi (V), disingkat dim(V). dimensi ruang vektor nol didefinisikan nol.

Contoh :

1. Dimensi (Âⁿ) = n sebab memiliki basis yang terdiri dari n vektor.
2. Dimensi (P_n) = n + 1 sebab memiliki basis yang terdiri dari n + 1 vektor
3. Jika M₂ ruang vektor yang terdiri dari matriks 2x2 dengan komponen real maka dimensi (M₂) = 4, sebab M₂ mempunyai basis yang terdiri dari 4 unsur.

Sifat :
     Jika V ruang vektor berdimensi n, maka :

1. Setiap himpunan m vektor di V dengan m > n, senantiasa bergantung linier
2. Setiap himpunan n vektor di V yang bebas linier, membentuk basis untuk V
3. Setiap himpunan n vektor di V yang membangun V, membentuk basis untuk V
4. Setiap himpunan k vektor yang bebas linier di V, dengan k < n dapat diperluas menjadi suatu basis untuk V

11

Pengenalan Vektor dalam Rn (Ruang Berdimensi n)

Berdasarkan konsep vektor pada Ruang berdimensi 2 dan 3 , jika kita meninjau sebuah vektor ( misalkan  ) pada  maka dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan terurut  begitu pula jika pada  maka .

Sekarang bagaimana dengan vektor yang berada di ,  dan seterusnya? Mengenai hal ini, pada abad ke-19 para ahli matematika dan ahli fisika mengembangkannya secara analitis pada ,  bahkan sampai . Kenapa perlu dikembangkan? salah satunya karena pada Sistem Persamaan Linear, dimana sebuah garis dapat dikatakan sebagai vektor yang panjangnya tak terbatas, diilustrasikan sebagai berikut :

Permasalahan timbul jika pada sistem persamaan linearnya mempunyai 4, 5 bahkan sampai n variabel, lalu bagaimana dengan vektornya? itulah mengapa perlunya generalisasi konsep dari vektor  atau  ke ruang yang lebih tinggi. Untuk masalah visualisasi secara geometri pada ruang 4, 5 dan seterusnya. “tidak” dapat dilaksanakan. Sebab dunia dimana kita hidup hanya disusun dari konsep tiga dimensi.

Definisi Vektor di Rn

Sebuah vektor  di  didefinisikan sebagai n-tupel bilangan riil  dengan n adalah bilangan bulat positif. Contohnya pada  vektor  dan pada  vektor .

Jika kita perhatikan pada gambar sebelumnya, jelas bahwa pasangan  dan  tripel  tidak hanya bermakna sebagai vektor namun juga dapat berperan sebagai titik. Nah, uniknya dalam ruang-n euclides keduanya dianggap sama, hal ini berlaku juga pada ,   sampai dengan . Jadi kita bebas menggambarkannya sebagai titik maupun sebagai vektor di .

Contoh :

Vektor  tersebut berada di .

Jika kita perhatikan seksama, sering muncul istilah ruang-n euclides, lalu apa sih ruang-n euclides itu ? Secara geometri, ruang euclides adalah ruang 2 atau 3 dimensi dimana aksioma-aksioma geometri euclid berlaku dengan baik, yang kemudian digeneralisasi ke dalam ruang berdimensi n. Sedangkan secara analitis, himpunan semua n-tupel bilangan real dinamakan ruang-n dan dinyatakan .

	Himpunan semua bilangan real
	Himpunan semua pasangan bilangan real
	Himpunan semua tripel bilangan real
	Himpunan semua quadrupel bilangan real
	Himpunan semua n-tupel bilangan real

Vektor Nol di Rn

Sebuah vektor di  disebut sebagai vektor nol jika dan hanya jika semua entri yang didalamnya bernilai nol, biasa dituliskan sebagai berikut :

Untuk selanjutnya akan dibahas pada halaman lain mengenai operasi-operasi vektor di ruang-n euclid . Namun sebelumnya pastikan bahwa anda sudah mengenal lebih dahulu operasi-operasi vektor pada Ruang-2 dan Ruang-3.